حل المعادلات التربيعية بيانياً ص 223 | لغة الجذور والأصفار
نبدأ في صفحة 223 الدرس الثاني، وهو الربط الجوهري بين الدوال والمعادلات. في الدرس السابق تعلمنا كيف نرسم، أما هنا فنتعلم كيف نقرأ هذا الرسم لنستخرج "حلول المعادلة". إن فهم صفحة 223 يعني قدرتك على تحديد نقاط تقاطع المنحنى مع محور السينات، وهي المهارة التي يطلق عليها الرياضيون "أصفار الدالة".
أولاً: ما هي حلول المعادلة التربيعية؟
في صفحة 223، يتم التأكيد على أن حلول المعادلة التربيعية هي قيم (س) التي تجعل (ص) تساوي صفراً. هندسياً، هذه الحلول هي نقط تقاطع المنحنى مع محور السينات.
تذكر دائماً المصطلحات المترادفة في المنهج السعودي: (الحلول = الجذور = الأصفار = المقطع السيني).
ثانياً: الحالات الثلاث للحلول في ص 223
عند تمثيل المعادلة بيانياً، ستواجه واحدة من ثلاث حالات يركز عليها الكتاب:
- حلان حقيقيان: عندما يقطع المنحنى محور السينات في نقطتين مختلفتين.
- حل حقيقي واحد: عندما يمس رأس المنحنى محور السينات في نقطة واحدة فقط.
- لا يوجد حلول حقيقية: عندما يكون المنحنى بالكامل فوق أو تحت محور السينات ولا يقطعه أبداً.
ثالثاً: حل فقرة تحقق من فهمك (1أ) ص 223
المعادلة: س² - 2س - 8 = 0
خطوات التحليل الجبري للرسم:
1. نوجد محور التماثل: س = -ب / 2أ = -(-2) / 2(1) = 1.
2. نوجد الرأس: بالتعويض بـ (1) في المعادلة؛ ص = (1)² - 2(1) - 8 = -9. الرأس (1، -9).
3. بالتمثيل البياني، نجد أن المنحنى يقطع محور السينات عند النقطتين: 4 و -2.
إذن، مجموعة الحل هي: { 4، -2 }.
رابعاً: حل فقرة تحقق من فهمك (1ب) ص 223
المعادلة: س² + 2س + 5 = 0
خطوات التحليل الجبري للرسم:
1. نوجد محور التماثل: س = -2 / 2(1) = -1.
2. نوجد الرأس: بالتعويض بـ (-1)؛ ص = (-1)² + 2(-1) + 5 = 4. الرأس (-1، 4).
3. بما أن الرأس يقع عند ص=4 والمنحنى مفتوح للأعلى (أ موجبة)، فإنه لن يقطع محور السينات أبداً.
إذن، مجموعة الحل هي: مجموعة خالية (لا يوجد حلول حقيقية).
💡 تنبيه ذكي لطلاب 2026
في صفحة 223، إذا طلب منك السؤال "حل المعادلة" ولم يحدد الطريقة، يمكنك دائماً استخدام التحليل إلى عوامل (الدرس السابق) للتأكد من صحة رسمك البياني. إذا كانت الأرقام الناتجة من التحليل هي نفسها نقاط التقاطع مع محور السينات، فأنت تسير في الطريق الصحيح نحو الدرجة الكاملة.
حلول وشروحات منهج الرياضيات السعودي - ثالث متوسط - الفصل الثالث.
حل تمارين صفحة 224 | تقدير الجذور والتطبيقات الحياتية
ننتقل في صفحة 224 إلى مستوى متقدم من التعامل مع المعادلات التربيعية. في كثير من الأحيان، لا يقطع المنحنى محور السينات عند أعداد صحيحة واضحة، وهنا تبرز مهارة "التقدير". كما تستعرض هذه الصفحة كيف يمكن للرياضيات أن تتنبأ بالزمن اللازم لسقوط الأجسام، مما يربط الجبر بفيزياء الحركة بشكل مباشر.
أولاً: مهارة تقدير الجذور غير الصحيحة
عندما يقطع المنحنى محور السينات بين عددين صحيحين (مثلاً بين 2 و 3)، نلجأ لتقدير القيمة لأقرب جزء من عشرة. في تمارين ص 224، يتم التركيز على اختيار القيم الأقرب لنقطة التقاطع بناءً على ملاحظة الرسم البياني بدقة.
ثانياً: حل فقرة تحقق من فهمك (2) ص 224
المعادلة: س² - 6س + 4 = 0
خطوات التحليل والتقدير:
1. محور التماثل: س = -(-6) / 2(1) = 3.
2. الرأس: بالتعويض بـ (3)؛ ص = (3)² - 6(3) + 4 = -5. الرأس (3، -5).
3. من خلال الرسم البياني، يتبين أن المنحنى يقطع محور السينات في موقعين:
• الجذر الأول: يقع بين 0 و 1، ويُقدر بـ 0.7 تقريباً.
• الجذر الثاني: يقع بين 5 و 6، ويُقدر بـ 5.3 تقريباً.
إذن، الجذور التقديرية هي: { 0.7، 5.3 }.
ثالثاً: حل فقرة تحقق من فهمك (3) ص 224 - السقوط الحر
المسألة: حساب الزمن اللازم لوصول جسم للأرض من ارتفاع 600 قدم.
الدالة المستخدمة: ف = -16ن² + ع. حيث (ع) الارتفاع الأصلي.
خطوات الحل:
1. نعوض عن الارتفاع النهائي (ف) بصفر، والارتفاع الأصلي بـ 600:
0 = -16ن² + 600.
2. بنقل الطرفين: 16ن² = 600.
3. بالقسمة على 16: ن² = 37.5.
4. بأخذ الجذر التربيعي للطرفين (نأخذ القيمة الموجبة فقط لأن الزمن لا يمكن أن يكون سالباً):
ن = √37.5 ≈ 6.1 ثانية.
النتيجة: يستغرق الجسم حوالي 6.1 ثانية ليصل إلى سطح الأرض.
💡 لماذا نستخدم التقدير في ص 224؟
الحياة الواقعية نادراً ما تعطينا نتائج صحيحة (مثل 1 أو 2). في مسائل السقوط الحر أو الهندسة بصفحة 224، نستخدم التقدير البياني كخطوة أولى لفهم مكان الحل، ثم نستخدم الجبر للوصول للدقة المطلوبة. تذكر دائماً عند حل مسائل "الزمن" استبعاد أي حل سالب يظهر لك في المعادلة التربيعية.
دليل حلول منهج الرياضيات المطور - الصف الثالث المتوسط - المملكة العربية السعودية 2026.
حل تمارين "تأكد" صفحة 225 | استخراج جذور المعادلات التربيعية
تمثل صفحة 225 محطة التقييم المباشر لمدى قدرة الطالب على ربط التمثيل البياني بالحلول الجبرية. في هذه التمارين، نركز على استخراج "الأصفار" بدقة من الرسم البياني، والتمييز بين الحالات المختلفة للحلول (حلان، حل واحد، أو لا يوجد حل)، وهو المطلب الأساسي في اختبارات الفصل الدراسي الثالث للمنهج السعودي.
أولاً: حل المعادلات بيانياً (تمارين 1-3)
نستعرض هنا تحليل المعادلات لإيجاد نقاط التقاطع مع محور السينات:
تمرين (1): س² - 3س - 4 = 0
• بعد تمثيل الدالة بيانياً، نلاحظ أن المنحنى يقطع محور السينات في نقطتين.
• الحل: مجموعة الحل هي { -1، 4 }.
تمرين (2): س² - 6س + 9 = 0
• عند الرسم، نجد أن رأس المنحنى (3، 0) يمس محور السينات في نقطة واحدة فقط.
• الحل: يوجد حل حقيقي واحد وهو { 3 }.
تمرين (3): س² + 4س + 5 = 0
• بالتحليل البياني، نجد أن الرأس يقع عند (-2، 1) والمنحنى مفتوح للأعلى، فلا يقطع المحور السيني.
• الحل: لا يوجد حلول حقيقية (مجموعة خالية).
ثانياً: تقدير الجذور لأقرب جزء من عشرة (تمرين 4)
في تمارين التقدير بصفحة 225، نبحث عن القيم التقريبية عندما لا تكون الجذور أعداداً صحيحة:
تمرين (4): س² - 3س + 1 = 0
• بالنظر إلى الرسم البياني، يقطع المنحنى محور السينات في موقعين:
1. الموقع الأول بين 0 و 1، ويُقدر بـ 0.4 تقريباً.
2. الموقع الثاني بين 2 و 3، ويُقدر بـ 2.6 تقريباً.
• الحل التقديري: { 0.4، 2.6 }.
ثالثاً: تطبيقات الفيزياء - مسألة السقوط (تمرين 6)
تطبق هذه المسألة قانون السقوط الحر لحساب الزمن. إذا سقط جسم من ارتفاع معين، فإننا نضع المعادلة في صورة (0 = -16ن² + الارتفاع الأصلي).
خطوات الحل في ص 225:
• نقوم بحل المعادلة بالنسبة لـ (ن).
• نأخذ الجذر التربيعي الموجب للناتج (لأن الزمن دائماً موجب).
• نُقرب الناتج لأقرب جزء من عشرة كما هو مطلوب في تعليمات المنهج السعودي.
💡 سر الدقة في حلول صفحة 225
تذكر دائماً أن "حل المعادلة بيانياً" هو قراءة بصرية في المقام الأول. إذا طُلب منك الحل في صفحة 225، فتأكد من استخدام ورق مربعات دقيق؛ لأن أي ميل بسيط في رسم المنحنى قد يؤدي إلى تقدير خاطئ للجذور. الدقة في تحديد "الرأس" هي مفتاحك للوصول إلى نقاط التقاطع الصحيحة مع محور السينات.
تم استخراج الحلول وفق معايير وزارة التعليم - رياضيات ثالث متوسط - 2026م.
حل تمارين تدرب وحل المسائل ص 226 | حل المعادلات التربيعية بيانياً
تستعرض صفحة 226 مجموعة من التمارين المكثفة التي تهدف إلى صقل مهارة الطالب في استخراج جذور المعادلات التربيعية من خلال الرسم البياني. في هذه المرحلة، يتوقع من طالب الصف الثالث المتوسط القدرة على التعامل مع مختلف وضعيات القطع المكافئ في المستوى الإحداثي، وتحديد نقاط التقاطع مع محور السينات بدقة، سواء كانت قيماً صحيحة أو تحتاج إلى تقدير عشري.
أولاً: حل المعادلات ذات الجذور الواحدة والمتعددة (تمارين 8-13)
في هذا القسم من ص 226، نركز على الحالات المباشرة للتقاطع:
تمرين (8): س² - 4س + 4 = 0
• نلاحظ أن المعادلة تمثل مربعاً كاملاً $(س - 2)^2$.
• بالرسم البياني، يمس رأس المنحنى محور السينات عند النقطة 2.
• الحل: يوجد حل حقيقي واحد هو { 2 }.
تمرين (11): س² + 2س - 8 = 0
• بعد التمثيل البياني، نجد أن المنحنى يقطع محور السينات في نقطتين متباعدتين.
• الحل: مجموعة الحل هي { -4، 2 }.
ثانياً: مهارة التقدير الدقيق للجذور (تمارين 14-19)
عندما لا يمر المنحنى برؤوس المربعات في شبكة الإحداثيات، نلجأ للتقدير كما في تمارين ص 226:
تمرين (14): س² - 5س + 3 = 0
• بالتمثيل الدقيق، نجد التقاطع الأول بين 0 و 1، والثاني بين 4 و 5.
• الجذور التقديرية: { 0.7، 4.3 } تقريباً.
تمرين (17): -س² + 2س + 4 = 0
• المنحنى مفتوح للأسفل ويقطع محور السينات في جهتين مختلفتين.
• الجذور التقديرية: { -1.2، 3.2 } تقريباً.
ثالثاً: تحليل مهارات التفكير العليا ص 226
تتحدى هذه المسائل قدرة الطالب على الربط بين المعطيات:
مسألة مفتوحة: يُطلب كتابة معادلة تربيعية ليس لها حلول حقيقية.
• الاستراتيجية: نختار دالة يكون رأسها فوق محور السينات ومفتوحة للأعلى، مثل س² + 5 = 0. هذه المعادلة لن تقطع محور السينات أبداً مهما امتدت.
💡 كيف تضمن صحة حلك في صفحة 226؟
قبل أن تغلق الصفحة، قم دائماً باختبار "نقطة الرأس". إذا كان إحداثي (ص) للرأس موجباً والمعامل (أ) موجباً، أو إذا كان إحداثي (ص) سالباً والمعامل (أ) سالباً، فاعلم فوراً أن المعادلة "لا يوجد لها حلول حقيقية". هذه الملاحظة البصرية السريعة توفر عليك الكثير من الوقت في المراجعة.
حلول ومراجعات الفصل الدراسي الثالث - رياضيات ثالث متوسط - الطبعة المعتمدة 2026م.
حل تمارين تدرب وحل المسائل ص 226 | حل المعادلات التربيعية بيانياً
تستعرض صفحة 226 مجموعة من التمارين المكثفة التي تهدف إلى صقل مهارة الطالب في استخراج جذور المعادلات التربيعية من خلال الرسم البياني. في هذه المرحلة، يتوقع من طالب الصف الثالث المتوسط القدرة على التعامل مع مختلف وضعيات القطع المكافئ في المستوى الإحداثي، وتحديد نقاط التقاطع مع محور السينات بدقة، سواء كانت قيماً صحيحة أو تحتاج إلى تقدير عشري.
أولاً: حل المعادلات ذات الجذور الواحدة والمتعددة (تمارين 8-13)
في هذا القسم من ص 226، نركز على الحالات المباشرة للتقاطع:
تمرين (8): س² - 4س + 4 = 0
• نلاحظ أن المعادلة تمثل مربعاً كاملاً $(س - 2)^2$.
• بالرسم البياني، يمس رأس المنحنى محور السينات عند النقطة 2.
• الحل: يوجد حل حقيقي واحد هو { 2 }.
تمرين (11): س² + 2س - 8 = 0
• بعد التمثيل البياني، نجد أن المنحنى يقطع محور السينات في نقطتين متباعدتين.
• الحل: مجموعة الحل هي { -4، 2 }.
ثانياً: مهارة التقدير الدقيق للجذور (تمارين 14-19)
عندما لا يمر المنحنى برؤوس المربعات في شبكة الإحداثيات، نلجأ للتقدير كما في تمارين ص 226:
تمرين (14): س² - 5س + 3 = 0
• بالتمثيل الدقيق، نجد التقاطع الأول بين 0 و 1، والثاني بين 4 و 5.
• الجذور التقديرية: { 0.7، 4.3 } تقريباً.
تمرين (17): -س² + 2س + 4 = 0
• المنحنى مفتوح للأسفل ويقطع محور السينات في جهتين مختلفتين.
• الجذور التقديرية: { -1.2، 3.2 } تقريباً.
ثالثاً: تحليل مهارات التفكير العليا ص 226
تتحدى هذه المسائل قدرة الطالب على الربط بين المعطيات:
مسألة مفتوحة: يُطلب كتابة معادلة تربيعية ليس لها حلول حقيقية.
• الاستراتيجية: نختار دالة يكون رأسها فوق محور السينات ومفتوحة للأعلى، مثل س² + 5 = 0. هذه المعادلة لن تقطع محور السينات أبداً مهما امتدت.
💡 كيف تضمن صحة حلك في صفحة 226؟
قبل أن تغلق الصفحة، قم دائماً باختبار "نقطة الرأس". إذا كان إحداثي (ص) للرأس موجباً والمعامل (أ) موجباً، أو إذا كان إحداثي (ص) سالباً والمعامل (أ) سالباً، فاعلم فوراً أن المعادلة "لا يوجد لها حلول حقيقية". هذه الملاحظة البصرية السريعة توفر عليك الكثير من الوقت في المراجعة.
حلول ومراجعات الفصل الدراسي الثالث - رياضيات ثالث متوسط - الطبعة المعتمدة 2026م.
