حل تمارين الصفحة 143: تدرب وحل التمرينات (المثلثات والدائرة)
فهرس دروس رياضيات الثاني المتوسط
تستكمل الصفحة رقم 143 رحلتنا في الدرس الخامس، حيث نركز على الربط بين "المحاور" و"المماسات". هذه التمارين مصممة لتدريبك على استنتاج أطوال أضلاع المثلث وخصائص الدائرة المحيطة به، مما يتطلب دقة عالية في تطبيق المبرهنات الهندسية.
أولاً: تطبيقات المحاور والدائرة المحيطة بالمثلث
تتضمن تمارين ص 143 مسائل حول الأعمدة المنصفة للأضلاع (المحاور):
- تحديد المركز: تذكر أن نقطة تلاقي محاور أضلاع المثلث هي مركز الدائرة المحيطة به (التي تمر برؤوسه).
- الخواص الحسابية: المسافة من هذا المركز إلى أي رأس من رؤوس المثلث تمثل "نصف قطر" الدائرة ($r$)، وبذلك تكون جميع هذه المسافات متساوية.
ثانياً: المسائل المركبة للمماسات (ص 143)
تنتقل التمارين هنا إلى دمج أكثر من مبرهنة في سؤال واحد:
1. تطابق المثلثات: استخدام تساوي المماسات لإثبات تطابق المثلثات الناتجة عن وصل مركز الدائرة بنقاط التماس والرؤوس الخارجية.
2. الجبر والهندسة: حل معادلات تحتوي على متغيرات ($x$) بناءً على تماثل أطوال القطع المماسة، وهو نمط متكرر في أسئلة الامتحانات الشهرية.
ثالثاً: مهارات رسم واستنتاج الدائرة المحاطة
في بعض فقرات الصفحة 143، يتم التركيز على الدائرة التي تمس الأضلاع من الداخل:
- الربط بالمنصفات: تذكر أن مركز هذه الدائرة هو نقطة تلاقي منصفات الزوايا.
- الاستنتاج: إذا عرفت طول المماس من جهة واحدة، يمكنك استنتاج بقية الأطوال المحيطة بالدائرة لتصل إلى المحيط الكلي للمثلث.
لماذا يجب عليك إتقان تمارين ص 143؟
- تقوية البرهان الرياضي: تساعدك على صياغة خطوات الحل بشكل منطقي وسليم.
- التحضير للبكالوريا: مفاهيم المماسات والدوائر أساسية في المراحل الدراسية المنتهية.
- دقة الملاحظة: تدربك على استخراج الخصائص الهندسية حتى لو لم تكن مكتوبة صراحة في المعطيات.
بحل تمارين الصفحة 143، تكون قد أتممت الجزء الأكبر من تطبيقات المثلث والدائرة. استعد الآن للصفحة القادمة 144، حيث سنختم هذا الدرس بفقرات المسائل الحياتية وتحديات "فكر" الشيقة.
حل تمارين الصفحة 144: مسائل حياتية وفكر (المثلثات والدائرة)
نختتم في الصفحة رقم 144 الدرس الخامس من الفصل الخامس. ننتقل في هذه الصفحة إلى الجانب التطبيقي والتحليلي، حيث نرى كيف تُستخدم المماسات والدوائر المحيطة في حل مشكلات واقعية، ونختبر قوة ملاحظتنا الهندسية من خلال فقرة "فكر" التي تدمج بين خصائص المثلث والدائرة بشكل إبداعي.
أولاً: تدرب وحل مسائل حياتية (ص 144)
تركز المسائل الحياتية في ص 144 على الربط التقني والهندسي:
- تطبيقات الأقمار الصناعية والاتصالات: قد تجد مسألة تتعلق بمدى تغطية برج إرسال، حيث يمثل البرج نصف قطر والدائرة تمثل مدى التغطية، والمستقيمات الخارجة منه تمثل مماسات تحدد زاوية البث.
- التصميم الميكانيكي: استخدام مبرهنة المماسين المتساويين في تصميم التروس والسيور الناقلة لضمان حركة متوازنة ودقيقة.
ثانياً: فقرة فكر (تحدي البرهان الهندسي)
تتطلب فقرة فكر في ص 144 تركيزاً عالياً في الاستنتاج:
- الربط بين الأوتار والمماسات: ستواجه رسماً يجمع بين مثلث داخل دائرة ومماسات خارجية، والمطلوب هو إثبات علاقة تساوٍ أو حساب زاوية معينة باستخدام مبرهنة التعامد.
- تحديد مركز الدائرة: أسئلة تطلب منك تحديد موقع مركز الدائرة المحيطة أو المحاطة بناءً على معطيات محدودة، مما يختبر فهمك العميق لنقاط تلاقي المحاور والمنصفات.
ثالثاً: فقرة أصحح الخطأ واكتب (ص 144)
في نهاية ص 144، نقوم بترسيخ المفاهيم النهائية:
1. أصحح الخطأ: يتم طرح ادعاء رياضي حول طول مماس أو مركز دائرة، وعليك اكتشاف الخطأ وتصحيحه بناءً على مبرهنات ص 140 و141.
2. فقرة اكتب: تطلب منك تلخيص الفرق بين مركز الدائرة المحاطة ومركز الدائرة المحيطة، وهو سؤال جوهري يضمن تمييزك بين المنصفات والمحاور.
خلاصة الدرس الخامس (ص 140-144):
- المماس: عمودي دائماً على نصف قطر الدائرة عند نقطة التماس.
- المماسان: المنطلقان من نقطة واحدة خارج الدائرة متساويان تماماً في الطول.
- الدائرة المحاطة: مركزها نقطة تلاقي منصفات زوايا المثلث.
- الدائرة المحيطة: مركزها نقطة تلاقي محاور أضلاع المثلث.
بإتمامك لتمارين الصفحة 144، تكون قد أتقنت الدرس الخامس بجدارة. استعد الآن للدرس السادس والأخير في هذا الفصل: "الزوايا والدائرة"، حيث سنكتشف علاقة الزوايا المركزية والمحيطية بالأقواس.
الدرس (5-6): الزوايا والدائرة - الصفحة 145
نبدأ في الصفحة رقم 145 دراسة العلاقات القياسية داخل الدائرة. هذا الدرس هو مكمل لما تعلمناه حول المثلثات، لكننا سنركز هنا على كيفية قياس "القوس" وعلاقته بالزوايا التي تنشأ من مركز الدائرة أو من محيطها.
أولاً: الزاوية المركزية وقوسها
الزاوية المركزية هي الزاوية التي يقع رأسها في مركز الدائرة وضلعاها هما نصفا قطرين فيها:
- القاعدة: قياس الزاوية المركزية يساوي دائماً قياس القوس المقابل لها.
- مثال: إذا كان قياس الزاوية المركزية $60^\circ$، فإن قياس القوس المقابل لها يكون $60^\circ$ أيضاً.
ثانياً: الزاوية المحيطية (Inscribed Angle)
تنتقل ص 145 لتعريف الزاوية المحيطية، وهي الزاوية التي يقع رأسها على محيط الدائرة وضلعاها وتران فيها:
- مبرهنة الزاوية المحيطية: قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس الزاوية المركزية المشتركة معها في القوس نفسه.
- الاستنتاج: قياس الزاوية المحيطية يساوي أيضاً نصف قياس القوس المقابل لها.
ثالثاً: مبرهنة الزاوية المماسية
تتطرق الصفحة أيضاً للزاوية المماسية التي تنشأ بين مماس ووتر يمر بنقطة التماس:
- القاعدة: قياس الزاوية المماسية يساوي نصف قياس القوس المقتطع بين ضلعيها.
- هذه المبرهنة تربط بين الدرس السابق (المماسات) والدرس الحالي بشكل وثيق.
لماذا ندرس زوايا الدائرة في ص 145؟
- علم الملاحة والخرائط: يعتمد تحديد المواقع والمسافات القوسية على الأرض على فهم الزوايا المركزية.
- تصميم الآلات: حساب زوايا الدوران في التروس والمحركات يعتمد كلياً على هذه المبادئ.
- التحضير للثالث المتوسط: مبرهنات الزوايا هي جزء أساسي من الهندسة في المراحل الدراسية القادمة.
فهمك لأساسيات الصفحة 145 سيسهل عليك حل مسائل الأقواس المعقدة. استعد الآن للصفحة 146 لنرى كيف نطبق هذه القواعد في حساب قياسات الزوايا والأقواس المفقودة.
تكملة الدرس (5-6): تطبيقات الزوايا والأقواس - الصفحة 146
ننتقل في الصفحة رقم 146 إلى الجانب العملي من درس الزوايا والدائرة. تركز هذه الصفحة على كيفية استخدام المبرهنات التي درسناها سابقاً لإيجاد قيم مجهولة، مع التركيز على حالات خاصة مثل الزوايا المحيطية المرسومة على قطر الدائرة.
أولاً: مبرهنة الزاوية المحيطية المواجهة للقطر
تستعرض ص 146 قاعدة ذهبية في هندسة الدائرة:
- القاعدة: كل زاوية محيطية تواجه قطراً في الدائرة تكون زاوية قائمة (قياسها $90^\circ$).
- التفسير: بما أن القطر يقسم الدائرة إلى قوسين قياس كل منهما $180^\circ$، فإن الزاوية المحيطية تساوي نصف قياس هذا القوس، أي $90^\circ$.
ثانياً: الزوايا المحيطية المشتركة في القوس نفسه
توضح الأمثلة في ص 146 علاقة التساوي بين الزوايا:
1. تطابق الزوايا: جميع الزوايا المحيطية التي تشترك في نفس القوس تكون متساوية في القياس.
2. فائدة الحل: إذا عرفت قياس زاوية محيطية واحدة، يمكنك استنتاج قياسات بقية الزوايا المحيطية التي تقابل القوس ذاته دون حسابات إضافية.
ثالثاً: حساب قياسات الأقواس من الزوايا
تتضمن الصفحة 146 تدريبات على التحويل بين الزاوية والقوس:
- من الزاوية للقوس: نضرب قياس الزاوية المحيطية في 2 لنحصل على قياس القوس المقابل.
- من القوس للزاوية: نقسم قياس القوس على 2 لنحصل على قياس الزاوية المحيطية.
مهارات الحل البرهاني في ص 146:
- الربط المنطقي: استخدم عبارات مثل "بما أن الزاوية محيطية تقابل القطر، إذن قياسها $90^\circ$".
- الدقة في الرموز: ميز بين رمز القوس ($\text{arc}$) ورمز الزاوية ($\angle$) أثناء كتابة خطوات الحل.
- التحقق: تأكد دائماً أن مجموع قياسات أقواس الدائرة كاملة يساوي $360^\circ$.
بإتقانك للأمثلة في الصفحة 146، أصبحت تمتلك الأدوات الكافية لحل تمارين الأقواس والزوايا. استعد الآن للصفحة 147 لنبدأ بحل تمارين "تأكد من فهمك" ونختبر مهاراتك في مواجهة المسائل المتنوعة.
